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已知△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,且2b=a+c,延长CA至D,使AD=AB,连接BD.(1)求证2∠D=∠BAC求tan1/2∠BAC×tan1/2∠BCA
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更新时间:2024-05-12 11:33:45
问题描述:

已知△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,且2b=a+c,延长CA至D,使AD=AB,连接BD.

(1)求证2∠D=∠BAC

求tan1/2∠BAC×tan1/2∠BCA

李现明回答:
  证明:(1)很明显,   AB=AD   ∠D=∠ABD   ∠BAC=∠D+∠ABD   ∠BAC=2∠D   (2)过点B做BE垂直AC于E   作∠C的平分线交BE于F   设AE=x   在直角三角形ABE和直角三角形CBE中   BE²=AB²-AE²   BE²=BC²-CE²   AB²-AE²=BC²-CE²   c²-x²=a²-(b-x)²   c²=a²-b²+2bx   x=(c²+b²-a²)/2b   x=[(c+a)(c-a)+b²]/2b   2b=c+a   AE=x=(5c-3a)/4   CE=b-x=(c+a)/2-(5c-3a)/4=(5a-3c)/4   DE=c+x=c+(5c-3a)/4=(9c-3a)/4   ∠D=1/2∠BAC(已证)   tan1/2∠BAC×tan1/2∠BCA=BE/DE×EF/EC   在直角三角形CEB中,根据角平分线的性质   BC/CE=BF/EF   BF/EF=a/(5a-3c)/4=4a/(5a-3c)   (BF+EF)/EF=(9a-3c)/(5a-3c)   BE/EF=(9a-3c)/(5a-3c)   EF=(5a-3c)/(9a-3c)BE   所以   tan1/2∠BAC×tan1/2∠BCA=[(5a-3c)/(9a-3c)BE²]/(DE×EC)   BE²=AB²-AE²=c²-(5c-3a)²/16=(30ca-9a²-9c²)/16   所以   tan1/2∠BAC×tan1/2∠BCA   =[(5a-3c)/(9a-3c)×(30ca-9a²-9c²)/16]/[(5a-3c)/4×(9c-3a)/4]   =[(9a²-30ac+9c²)/(9a-3c)(3a-9c)]   =(3a²-10ac+3c²)/[3(3a-c)(a-3c)]   =(a-3c)(3a-c)/[3(3a-c)(a-3c)]   =1/3
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