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一道数学题(几何题)已知:点A,B,C,D,是直径为AB的⊙O上的四个点,C是劣弧BD的中点,AC交BD于点E,AE=2,EC=1.1)求证:△DEC∽△ADC2)试探究四边形ABCD是否是梯形?若是,请给出证明并求出梯形的面积,若
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更新时间:2024-04-17 23:05:59
问题描述:

一道数学题(几何题)

已知:点A,B,C,D,是直径为AB的⊙O上的四个点,C是劣弧BD的中点,AC交BD于点E,AE=2,EC=1.

1)求证:△DEC∽△ADC

2)试探究四边形ABCD是否是梯形?若是,请给出证明并求出梯形的面积,若不是,请说明理由.

(只要求出第二问.)

刘飞雷回答:
  (1)证明:∠ACB=∠ADB=90℃因为AB是圆的直径.   对顶角∠DEA=∠CEB所以∠CAD=∠DBC又因为C是BD弧的中点所以CD=CB所以∠DBC=CDB所以∠CDB=∠CAD又因为∠ACD=∠ECD所以△DEC∽△ADC   (2)因为AE=2EC=1所以AC=3因为△DEC∽△ADC所以AC/DC=DC/EC所以DC=√3(根号3)在根据相似算出AD=DC=√3所以∠DCA=∠CAD=∠CDB又因为∠CDB和∠CAB对的是同一个弧,所以角度相等所以∠DCA=∠CAB所以DC平行于AB所以ABCD是梯形.   (3)因为AD=DC=CB所以DC是AB弧的3等分点所以∠DAB=∠CBA=60℃.又DC向AB做垂线AD=BC=CD又上得√3   最后算得面积为9√3/4(4分之9倍根号3)
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