【如图，在三棱锥D-ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC，E为BC的中点，F在棱AC上，且AF=3FC．（1）求证：AC⊥平面DEF；（2）求平面DEF与平面ABD所成的锐二面角的余弦值；（3）若M为BD】
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更新时间:2024-04-24 10:41:47
问题描述：
如图，在三棱锥D-ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC，E为BC的中点，F在棱AC上，且AF=3FC．
（1）求证：AC⊥平面DEF；
（2）求平面DEF与平面ABD所成的锐二面角的余弦值；
（3）若M为BD的中点，问AC上是否存在一点N，使MN∥平面DEF？若存在，说明点N的位置；若不存在，试说明理由．
化建宁回答：
（1）证明：取AC的中点H，连接BH，
∵AB=BC，∴BH⊥AC．
∵AF=3FC，∴F为CH的中点．
∵E为BC的中点，∴EF∥BH．则EF⊥AC．
∵△BCD是正三角形，∴DE⊥BC．
∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥DE．
∵AB∩BC=B，∴DE⊥平面ABC，∴DE⊥AC．
∵DE∩EF=E，∴AC⊥平面DEF；
（2）设AB=BC=2a，则DE=3
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