（2013•凤阳县模拟）把Rt△ABC如图放置在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，∠ABC=90°，若点A的坐标为（0，4），AO=2OB，且∠OAB=∠BAC．（1）求过点A、B、C三点的抛物线解析式；（2
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更新时间:2024-04-27 16:40:48
问题描述：
（2013•凤阳县模拟）把Rt△ABC如图放置在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，∠ABC=90°，若点A的坐标为（0，4），AO=2OB，且∠OAB=∠BAC．
（1）求过点A、B、C三点的抛物线解析式；
（2）若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点（设为点E），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A．求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长；
（3）在AC上是否存在点Q，使得△QBC为等腰三角形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
唐国建回答：
（1）过点C作CD⊥x轴于D．∵A（0，4），AO=2BO，∴OB=2，∴B（2，0），∵∠ABC=∠AOB=90°，∠OAB=∠BAC∴△ABC∽△AOB∴ABAO=BCBO，∴ABBC=AOBO=2，∵∠OBA+∠CBD=90°，∠OBA+∠OAB=90°∴∠OAB=∠CBD∵∠CDB=∠AO...
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