设f（x）在（-1，1）内具有二阶连续导数且f″（x）≠0，试证：（1）对于（-1，1）内的任一x≠0，存在惟一的θ（x）∈（0，1），使f（x）=f（0）+xf′（θ（x）x）成立；（2）limx→0θ(x)＝12．
1人问答
更新时间:2024-04-27 19:57:52
问题描述：
设f（x）在（-1，1）内具有二阶连续导数且f″（x）≠0，试证：
（1）对于（-1，1）内的任一x≠0，存在惟一的θ（x）∈（0，1），使f（x）=f（0）+xf′（θ（x）x）成立；
（2）
鲁婧回答：
证：（1）由拉格朗日中值定理，∀x∈（-1，1）且x≠0，∃θ∈（0，1），使f（x）=f（0）+xf′（θ（x）x）（θ与x有关）；
又由f''（x）连续而f''（x）≠0，
∴f″（x）在（1，-1）不变号，
∴f′（x）在（1，-1）严格单调的，
∴满足f（x）=f（0）+xf′（θ（x）x）的θ唯一．
（2）由题意，根据泰勒公式有：
f(x)＝f(0)+xf′(0)+x
其它推荐
![【设f(x)为定义在R上的偶函数,且f(x)在[0,+00]上为增函数,则f(-2),f(3)的大小顺序为】](/UploadFile/wdimg/2071/2584526420/35/3981762228.jpg)
其它推荐
最新更新
精品分类
优秀其它推荐
热门其它
联系方式：