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自然数1,2,3,…,n按照一定的顺序排成一个数列:a1,a2,…,an.若满足|a1-1|+|a2-2|+…+|an-n|≤4,则称数列a1,a2,…,an为一个“优数列”.当n=6时,这样的“优数列”共有()A.24个B.2
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更新时间:2024-05-14 03:34:12
问题描述:

自然数1,2,3,…,n按照一定的顺序排成一个数列:a1,a2,…,an.若满足|a1-1|+|a2-2|+…+|an-n|≤4,则称数列a1,a2,…,an为一个“优数列”.当n=6时,这样的“优数列”共有()

A.24个

B.23个

C.18个

D.16个

方亮回答:
  由题意,|a1-1|+|a2-2|+…+|an-6|≤4,通过分析可知,当1到6分别对应a1至a6时和,取得最小值0;   任意改变其中两个数ai=i、aj=j的位置,则有|ai-j|+|aj-i|=2|i-j|,   表明一旦改变,和的变化必然是以2为单位,不可能有1、3、5…这样的和出现,   所以,优数列的和只能取0、2、4;   ①当和为0时,只有上面提到的1种情况;   ②当和为2时,只能是改变相邻位置的两个数而得,否则和2|i-j|必然大于2,共有5种情况;   ③当和为4时,需要分类讨论:   (i)改变的是相隔1个数的两个数的情况,也就是i-1和i+1互换位置,有4种情况;   (ii)改变的是三个数轮换的情况,只能是i-1,i,i+1轮换位置,有8种情况;   综上,优数列共有1+5+4+8=18种情况.   故选:C.
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