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【(高中数列综合题)题目::数列{an}a1=1,点(an,a)在直线y=2x+1上.(1)求{an}通项公式(2)若数列{bn}满足b1=a1,bn/an=1/a1+1/a2+1/a3+.+1/a(n大于等于2,n属于自然数)求ban-(bn+1)a的值(3)对于(2)中的】
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更新时间:2024-03-29 04:38:27
问题描述:

(高中数列综合题)

题目::数列{an}a1=1,点(an,a)在直线y=2x+1上.

(1)求{an}通项公式

(2)若数列{bn}满足b1=a1,bn/an=1/a1+1/a2+1/a3+.+1/a(n大于等于2,n属于自然数)求ban-(bn+1)a的值

(3)对于(2)中的数列{bn},求证(1+b1)(1+b2).(1+bn)

商长玲回答:
  ∵数列{a[n]}点(a[n],a[n+1])在直线y=2x+1上   ∴a[n+1]=2a[n]+1   即:a[n+1]+1=2(a[n]+1)   ∵a[1]=1   ∴{a[n]+1}是首项为a[1]+1=2,公比也是2的等比数列   即:a[n]+1=2*2^(n-1)=2^n   ∴a[n]=2^n-1   ∵数列{b[n]},b[n]/a[n]=1/a[1]+1/a[2]+1/a[3]+...+1/a[n-1](n≥2,n∈N)   设c=1/a[1]+1/a[2]+1/a[3]+...+1/a[n-1]   ∴b[n]=ca[n],b[n+1]=a[n+1](c+1/a[n])   ∴b[n+1]a[n]-(b[n]+1)a[n+1]   =a[n+1](c+1/a[n])a[n]-(ca[n]+1)a[n+1]   =a[n+1](ca[n]+1)-a[n+1](ca[n]+1)   =0   (3)证明:   ∵2^n-2^(n-1)=2^(n-1)≥1   ∴2^n-1≥2^(n-1)   即:1/(2^n-1)≤1/2^(n-1)   ∴1/a[1]+1/a[2]+1/a[3]+...+1/a[n-1]+1/a[n]   =1/(2^1-1)+1/(2^2-1)+1/(2^3-1)+...+1/(2^n-1)   ≤1/2^0+1/2^1+1/2^2+...+1/2^(n-2)   =[1-1/2^(n-1)](1-1/2)   =2[1-1/2^(n-1)](n≥2)
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