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已知数列An中,a1=1/2,点(n,2an+1-an)在直线y=x上,其中你=1,2,3令bn=a(n-1)-an-3,求证数列(bn)是等已知数列An中,a1=1/2,点(n,2an+1-an)在直线y=x上,其中你=1,2,3(1)令bn=a(n-1)-an-3,求证数列(bn)是等比数列(2
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更新时间:2024-04-26 04:12:03
问题描述:

已知数列An中,a1=1/2,点(n,2an+1-an)在直线y=x上,其中你=1,2,3令bn=a(n-1)-an-3,求证数列(bn)是等

已知数列An中,a1=1/2,点(n,2an+1-an)在直线y=x上,其中你=1,2,3

(1)令bn=a(n-1)-an-3,求证数列(bn)是等比数列

(2)求数列(an)的通项

(3)设Sn,Tn分别为数列(an)(bn)的前n项和,是否存在实数λ使得数列((Sn+λTn)/n)为等差数列?若存在,试求出λ,若不存在,则说明理由.

浦瑞良回答:
  记a(n)为数列第n项,S(n)为前n和,T(n)为b(n)前n项和   (1)由题意:n=2a(n+1)-a(n)   b(n)=a(n+1)-a(n)-1=n-a(n+1)-1=(n-1)-a(n+1)   b(n+1)=n+1-a(n+2)-1=n-a(n+1)/2-(n+1)/2=(n-1)/2-a(n+1)/2   b(n+1)/b(n)=1/2   ∴{b(n)}是等比数列;   (2)2a(2)-a(1)=2,于是a(2)=3/4   b(1)=a(2)-a(1)-1=-3/4   b(n)=-3/4*(1/2)^(n-1)=-3(1/2)^(n+1)   a(n)=1+b(n-1)+a(n-1)=a(n-1)+1-3*(1/2)^n   =a(n-2)+2-3[(1/2)^n+(1/2)^(n-1)]   =…   =a(1)+n-1-3[(1/2)^2+…+(1/2)^n]   =n-2+3(1/2)^n;   (3)S(n)=n(n+1)/2-2n+3-3(1/2)^n   T(n)=3/2*(1/2)^n-3/2   令C(n)=[S(n)+λT(n)]/n   C(1)=1/2-3λ/4,2C(2)=5/4-9λ/8,3C(3)=21/8-21λ/16   由C(1)-C(2)=C(2)-C(3)可得:λ=-2   于是:C(n)=(n-3)/2   C(n+1)-C(n)=1/2,等差   ∴λ=-2时{S(n)+λT(n)]/n}为等差数列.
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