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【如图,以等腰直角三角形ABC斜边BC上的高AD为折痕,使△ABD和△ACD所在的平面相互垂直,BC的中点为N(1)求证:平面ACD垂直平面BDC(2)求证:平面ADN垂直平面ABC(3)求角CAB的度数】
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更新时间:2024-04-20 04:19:35
问题描述:

如图,以等腰直角三角形ABC斜边BC上的高AD为折痕,使△ABD和△ACD所在的平面相互垂直,

BC的中点为N(1)求证:平面ACD垂直平面BDC(2)求证:平面ADN垂直平面ABC(3)求角CAB的度数

沈国柱回答:
  (1)、∵平面ABD⊥平面ACD,   BD⊥AD,   ∴BD⊥平面ACD,   ∵BD∈平面BDC,   ∴平面ACD⊥平面BDC.   (2)、∵N是BC的中点,   AB=AC,   ∴AN⊥BC,(等腰三角形三线合一),   同理,BD=CD,   DN⊥BC,   ∵DN∩AN=N,   ∴BC⊥平面ADN,   ∵BC∈平面ABC,   ∴平面ADN⊥平面ABC.   (3)、设AB=AC=1,   则BD=CD=√2/2,   而BD⊥平面ADC,   CD∈平面ADC,   ∴BD⊥CD,   △BDC是等腰RT△,   BC=√2CD=1,   ∴△ABC是正△,   ∴
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