第一数学归纳法证明：1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6的问题

我在一本很牛叉的中学思想方法书上看到用“第一数学归纳法”证明.

第一数学归纳法：设P(n)是依赖与自然数n的命题,若P(n)当n=1时成立；则在P(k)成立的假定下可以证明P(k+1)成立,那么P(n)对于任意自然数n皆成立.例如：

求证：1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6对于任意自然数n成立

证明：当n=1时,左边=1^2=1,右边=1,∴n=1求证式成立

设n=k时求证式成立,则n=k+1时有1^2+2^2+...+k^2+(k+1)^2

=(1^2+2^2+...+k^2)+(k+1)^2=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)^2=(k+1)(k+2)(2k+3)/6

即n=k+1时求证式已成立,综上可知求证式对于任意自然数成立

上面的过程还有第一数学归纳法我都看懂了、就是不知道为什么能这样?为什么能

n=1时成立,设n=k成立,若n=k+1对原式成立,那么原式对任意自然数都成立?为啥?第一归纳法是怎么来的?