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7张如图1的长为a,宽为b(a>b)的小长方形纸片,按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内,未被覆盖的部分(两个矩形)用阴影表示.设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S,当BC的长度变
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更新时间:2024-04-26 02:10:19
问题描述:

7张如图1的长为a,宽为b(a>b)的小长方形纸片,按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内,未被覆盖的部分(两个矩形)用阴影表示.设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S,当BC的长度变化时,按照同样的放置方式,S始终保持不变,则a,b满足()

A.a=52b

B.a=3b

C.a=72b

D.a=4b

马晓明回答:
  左上角阴影部分的长为AE,宽为AF=3b,右下角阴影部分的长为PC,宽为a,   ∵AD=BC,即AE+ED=AE+a,BC=BP+PC=4b+PC,   ∴AE+a=4b+PC,即AE-PC=4b-a,   ∴阴影部分面积之差S=AE•AF-PC•CG=3bAE-aPC=3b(PC+4b-a)-aPC=(3b-a)PC+12b2-3ab,   则3b-a=0,即a=3b.   解法二:既然BC是变化的,当点P与点C重合开始,然后BC向右伸展,   设向右伸展长度为X,左上阴影增加的是3bX,右下阴影增加的是aX,因为S不变,   ∴增加的面积相等,   ∴3bX=aX,   ∴a=3b.   故选:B.
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