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【求证:三条互不平行的直线L1:a1x+b1y+c1=0,直线L2:a2x+b2y+c2=0,只想爱你L3:a3x+b3y+c3=0共点的充要条件是充要条件是矩阵a1b1c1(换行)a2b2c2(换行)a3b3c3的值为零】
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更新时间:2024-04-19 21:17:18
问题描述:

求证:三条互不平行的直线L1:a1x+b1y+c1=0,直线L2:a2x+b2y+c2=0,只想爱你L3:a3x+b3y+c3=0共点的充要条件是

充要条件是矩阵a1b1c1(换行)a2b2c2(换行)a3b3c3的值为零

唐彬回答:
  共点证明行列式为0:   考虑方程组   a1x+b1y+c1z=0   a2x+b2y+c2z=0   a3x+b3y+c3z=0   三线共点说明方程组有非0解(z=1)   所以系数行列式为0.   反过来   已知行列式detA为0   若假设三线不共点   那么方程组   a1x+b1y+c1=0   a2x+b2y+c2=0   a3x+b3y+c3=0   无解   也就是方程组   a1x+b1y+c1z=0   a2x+b2y+c2z=0   a3x+b3y+c3z=0   0x+0y+1z=1   无解   因为detA为0,故前三个方程至少有一个是另两个的线性组合(多余),不妨设第一个是多余的   那么方程组   a2x+b2y+c2z=0   a3x+b3y+c3z=0   0x+0y+1z=1   的系数行列式detA'必为0   但detA'=a2b3-a3b2不等于0(因为两条直线不平行)   矛盾   所以三线共点
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