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【在Rt△ABC中,∠C=90°,D为AB边上一点,点M、N分别在BC、AC边上,且DM⊥DN.作MF⊥AB于点F,NE⊥AB于点E.(1)特殊验证:如图1,若AC=BC,且D为AB中点,求证:DM=DN,AE=DF;____(2)拓展探究:若AC≠BC】
1人问答
更新时间:2024-04-24 16:39:08
问题描述:

在Rt△ABC中,∠C=90°,D为AB边上一点,点M、N分别在BC、AC边上,且DM⊥DN.作MF⊥AB于点F,NE⊥AB于点E.

(1)特殊验证:如图1,若AC=BC,且D为AB中点,求证:DM=DN,AE=DF;____

(2)拓展探究:若AC≠BC.

①如图2,若D为AB中点,(1)中的两个结论有一个仍成立,请指出并加以证明;____

②如图3,若BD=kAD,条件中“点M在BC边上”改为“点M在线段CB的延长线上”,其它条件不变,请探究AE与DF的数量关系并加以证明.____

饶亮回答:
  【分析】(1)如答图1,连接CD,证明△AND≌△CMD,可得DM=DN;证明△NED≌△DFM,可得DF=NE,从而得到AE=DF;   n(2)①若D为AB中点,则分别证明△DEN∽△MFD,△AEN∽△MFB,由线段比例关系可以证明AE=DF结论依然成立;   n②若BD=kAD,证明思路与①类似.   (1)证明:若AC=BC,则△ABC为等腰直角三角形.   n如答图1所示,连接CD,则CD⊥AB.   n又∵DM⊥DN,   n∴∠1=∠2.   n在△AND与△CMD中,   n∴△AND≌△CMD(ASA),   n∴DM=DN.   n∵∠4+∠1=90°,∠1+∠3=90°,   n∴∠4=∠3.   n∵∠1+∠3=90°,∠3+∠5=90°,   n∴∠1=∠5.   n在△NED与△DFM中,   n∴△NED≌△DFM(ASA),   n∴NE=DF.   n∵△ANE为等腰直角三角形,   n∴AE=NE,   n∴AE=DF.   n(2)①AE=DF.理由如下:   n由(1)证明可知:△DEN∽△MFD,   n∴,即MF•EN=DE•DF.   n同理△AEN∽△MFB,   n∴,即MF•EN=AE•BF.   n∴DE•DF=AE•BF,   n∴(AD-AE)•DF=AE•(BD-DF),   n∴AD•DF=AE•BD,   n∴AE=DF.   n②DF=kAE.理由如下:   n由①同理可得:DE•DF=AE•BF,   n∴(AE-AD)•DF=AE•(DF-BD)   n∴AD•DF=AE•BD   n∵BD=kAD   n∴DF=kAE.   【点评】本题是几何探究与证明综合题,考查了相似三角形与全等三角形的判定与性质,题中三个结论之间逐级递进,体现了从特殊到一般的数学思想.
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