设f(x)=(a^x+a^-x)/2,g(x)=(a^x-a^-x)/2（其中啊＞0,且a不等于1）⑴5=2+3,请你推测g(5)能否用f(2),f(3),g(2),g(3)来表示；⑵如果⑴中获得一个结论,请你猜测能否将其推广
1人问答
更新时间:2024-04-17 05:06:47
问题描述：
设f(x)=(a^x+a^-x)/2,g(x)=(a^x-a^-x)/2（其中啊＞0,且a不等于1）⑴5=2+3,请你推测g(5)能否用f(2),f(3),g(2),g(3)来表示；⑵如果⑴中获得一个结论,请你猜测能否将其推广
李多多回答：
（1）g(5)={[f(2)+g(2)]×[f(3)+g(3)]-[f(2)-g(2)]×[f(3)-g(3)]}/2
（2）
推测,若k=m+n
则g(k)={[f(m)+g(m)]×[f(n)+g(n)]-[f(m)-g(m)]×[f(n)-g(n)]}/2
证明如下：
f(m)+g(m)=a^m,f(n)+g(n)=a^n,
所以,[f(m)+g(m)]×[f(n)+g(n)]=a^m*a^n=a^(m+n)=a^k；
f(m)-g(m)=a^(-m),f(n)-g(n)=a^(-n),
所以,[f(m)-g(m)]×[f(n)-g(n)]=a^(-m)*a^(-n)=a^(-k)；
所以,{[f(m)+g(m)]×[f(n)+g(n)]-[f(m)-g(m)]×[f(n)-g(n)]}/2=[a^k-a^(-k)]/2=g(k)
推测成立
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