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高中数学(以知椭圆X2/4+Y2/3=1和椭圆外一点M(0,3),过点M任意引直线与椭圆交于A,B两点,求P的轨迹方程)
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更新时间:2024-04-20 04:45:15
问题描述:

高中数学(以知椭圆X2/4+Y2/3=1和椭圆外一点M(0,3),过点M任意引直线与椭圆交于A,B两点,求P的轨迹方程)

蒋朝惠回答:
  AB的中点P的轨迹方程是2(Y-5)^2+X^2=2.   设过点M(0,3)的直线为y=kx+3,   将y=kx+3代入椭圆方程x^2/4+y^2/3=1得   (4k^2+3)x^2+24kx+24=0   x2,x2是方程的根,则有   x1+x2=-24k/(4k^2+3)   y1=kx1+3,y2=kx2+3   设AB的中点P的坐标为P(X,Y),则   X=(x1+x2)/2=-24k/(4k^2+3)   Y=(y1+y2)/2=k(x1+x2)/2+3=-12k^2/(2k^2+1)+4   X=4k/(2k^2+1)   Y-4=4k^2/(2k^2+1)   Y-4=kX,k=(Y-4)/X   将k=(Y-4)/X代入X=4k/(2k^2+1)   2(Y-4)^2-4(Y-4)+X^2=0   2(Y-5)^2+X^2=2   AB的中点P的轨迹方程是2(Y-5)^2+X^2=2,轨迹仍是一个椭圆.
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