LS的方法好像运算量大了点,这里有直观的数形结合的解法:
首先我们先证明一个很有用的结论:如果一个三角形一边已知,另两边的长度之比不为1,则该边所对的顶点的轨迹是一个圆,证明如下:
如果使题中的三角形AB边作为底边将其与x轴重合,并将A点置于原点,则B点坐标为(2,0),设C点坐标为(x,y)由AC=sqr(2)BC可知:
sqr(x^2+y^2)=sqr(2)sqr((x-2)^2+y^2)
两边平方化简并整理得到:
(x-4)^2+y^2=8,显然C点轨迹是个圆,
然后通过观察可以发现,C点纵坐标y就是三角形的高(而底是不变的始终为AB的长=2),当y最大的时候面积最大,显然当x=4的时候y最大,这时候y=2sqr(2)
所以最大面积S=2*2sqr(2)/2=2sqr(2)
即最大值是2根号2