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数学题求解:已知抛物线y=x2上两点A、B,且直线AB过抛物线y=x2的焦点F,过A、B分别作抛物线已知抛物线y=x2上两点A、B,且直线AB过抛物线y=x2的焦点F,过A、B分别作抛物线的切线相交于P点.(1)求P
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更新时间:2024-04-26 01:45:54
问题描述:

数学题求解:已知抛物线y=x2上两点A、B,且直线AB过抛物线y=x2的焦点F,过A、B分别作抛物线

已知抛物线y=x2上两点A、B,且直线AB过抛物线y=x2的焦点F,过A、B分别作抛物线的切线相交于P点.(1)求P点轨迹方程(2)证明PF⊥AB

罗剑辉回答:
  (1)抛物线y=x^2①的焦点F是(0,1/4),y'=2x,   设AB:y=kx+1/4,代入①,   x^-kx-1/4=0,   设A(x1,x1^),B(x2,x2^),P(x,y),x1≠x2,则   x1+x2=k,x1x2=-1/4,   PA:y-x1^=2x1(x-x1),y=x1(2x-x1),   PB:y-x2^=2x2(x-x2).y=x2(2x-x2),   解得x=(x1+x2)/2=k/2,   y=x1x2=-1/4.   ∴P点轨迹方程是y=-1/4.   (2)PF的斜率=(1/2)/(-k/2)=-1/k,   ∴PF⊥AB.
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