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数学证明题(整除证明,最大公约数证明)1a,b是整数并且被c整除.如果a,b的最大公约数是1,那么证明a*b也被c整除2证明gcd(a,b*c)=1又且只有在gcd(a,b)=1gcd(a,c)=1的情况下成立.不好意思,第一题弄错
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更新时间:2024-04-20 18:55:27
问题描述:

数学证明题(整除证明,最大公约数证明)

1a,b是整数并且被c整除.如果a,b的最大公约数是1,那么证明a*b也被c整除

2证明gcd(a,b*c)=1又且只有在gcd(a,b)=1gcd(a,c)=1的情况下成立.

不好意思,第一题弄错了.正确的是:

c是整数并且被a,b整除.如果a,b的最大公约数是1,那么证明c也被a*b整除.

但是能否把这个给我讲一下,gcd(a,b*c)=x*y(这个明白吧),我很菜.

鲁哨廷回答:
  1.a,b是整数并且被c整除说明   a=mc,b=nc,(m,n为整数)   所以a*b=mnc^2,是c的倍数.   所以a*b也被c整除   2.先证明当gcd(a,b)=1gcd(a,c)=1时gcd(a,b*c)=1   由gcd(a,b)=1,a没有b的质因数   由gcd(a,c)=1,a没有c的质因数   所以a没有b*c的质因数   所以gcd(a,b*c)=1   再证明当gcd(a,b*c)=1时gcd(a,b)=1gcd(a,c)=1   设gcd(a,b)=x,gcd(a,c)=y(x,y为正整数)   所以gcd(a,b*c)=x*y(这个明白吧)   但是gcd(a,b*c)=1   所以x*y=1,又因为x,y为正整数   所以x=y=1   综上,gcd(a,b*c)=1又且只有在gcd(a,b)=1gcd(a,c)=1的情况下成立
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