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(本小题满分12分)如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,且PD=AB=2,E是PB的中点,F是AD的中点.⑴求异面直线PD与AE所成角的大小;⑵求证:EF⊥平面PBC
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更新时间:2024-03-29 07:20:54
问题描述:

(本小题满分12分)

如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,且PD=AB=2,E是PB的中点,F是AD的中点.

 

 

⑴求异面直线PD与AE所成角的大小;

⑵求证:EF⊥平面PBC;

⑶求二面角F—PC—B的大小.

 

 

刘羡飞回答:
  解法1:(Ⅰ)连结BD   ∵PD⊥平面ABCD,   ∴平面PDB⊥平面ABCD,   过点E作EO⊥BD于O,连结AO.   则EO∥PD,且EO⊥平面ABCD.   ∴∠AEO为异面直线PD,AE所成的角…………3分   ∵E是PB的中点,则O是BD的中点,且EO=PD=1.   在Rt△EOA中,AO=, .   即异面直线PD与AE所成角的大小为 ……………………………4分   (Ⅱ)连结FO,   ∵F是AD的中点,        ∴OF⊥AD.∵EO⊥平面ABCD,   由三垂线定理,得EF⊥AD.又∵AD∥BC,∴EF⊥BC.……………………………6分   连结FB.可求得FB=PF=则EF⊥PB.又∵PB∩BC=B,∴EF⊥平面PBC.…………………8分   (Ⅲ)取PC的中点G,连结EG,FG.则EG是FG在平面PBC内的射影   ∵PD⊥平面ABCD, ∴PD⊥BC又DC⊥BC,且PD∩DC=D,   ∴BC⊥平面PDC,∴BC⊥PC,∵EG∥BC,则EG⊥PC∴FG⊥PC   ∴∠FGE是二面角F—PC—B的平面角………………………………………10分   在Rt△FEG中,EG=BC=1,GF=,    ∴二面角F—PC—B的大小为…12分   解法2:如图,建立空间直角坐标系,      依题意,点   .   (1)由于   所以,   所以,异面直线PD与AE所成的角为   (2)   设为平面PBC的一个法向量,则   ,令,得   又,    ,从而.   (2)设为平面PCE的一个法向量,,   由,令,得   所以,二面角F—PC—B为    
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