解法1:(Ⅰ)连结BD ∵PD⊥平面ABCD,
∴平面PDB⊥平面ABCD,
过点E作EO⊥BD于O,连结AO.
则EO∥PD,且EO⊥平面ABCD.
∴∠AEO为异面直线PD,AE所成的角…………3分
∵E是PB的中点,则O是BD的中点,且EO=PD=1.
在Rt△EOA中,AO=, .
即异面直线PD与AE所成角的大小为 ……………………………4分
(Ⅱ)连结FO, ∵F是AD的中点, ∴OF⊥AD.∵EO⊥平面ABCD,
由三垂线定理,得EF⊥AD.又∵AD∥BC,∴EF⊥BC.……………………………6分
连结FB.可求得FB=PF=则EF⊥PB.又∵PB∩BC=B,∴EF⊥平面PBC.…………………8分
(Ⅲ)取PC的中点G,连结EG,FG.则EG是FG在平面PBC内的射影
∵PD⊥平面ABCD, ∴PD⊥BC又DC⊥BC,且PD∩DC=D,
∴BC⊥平面PDC,∴BC⊥PC,∵EG∥BC,则EG⊥PC∴FG⊥PC
∴∠FGE是二面角F—PC—B的平面角………………………………………10分
在Rt△FEG中,EG=BC=1,GF=,
∴二面角F—PC—B的大小为…12分
解法2:如图,建立空间直角坐标系,
依题意,点
.
(1)由于
所以,
所以,异面直线PD与AE所成的角为
(2)
设为平面PBC的一个法向量,则
,令,得
又,
,从而.
(2)设为平面PCE的一个法向量,,
由,令,得
所以,二面角F—PC—B为