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【若fx满足fx+2∫ftdt=x^2,积分区间为0到x,求fx】
1人问答
更新时间:2024-03-29 20:43:19
问题描述:

若fx满足fx+2∫ftdt=x^2,积分区间为0到x,求fx

陈细松回答:
  两边对x求导,得f'(x)+2f(x)=2x   再两边对x求导,得f''(x)+2f'(x)=2,令t=f'(x),则dt/dx=2-2t即dt/(t-1)=-2dx   两边积分得ln[C(t-1)]=-2x,C为常数   则f'(x)-1=[e^(-2x)]/C   积分,得f(x)=D+x-[e^(-2x)]/(2C),C、D为常数   而题中式子以x=0代入,可得f(0)=0,所以D-1/(2C)=0   再以x=-1/2代入,得C=-1,那么D=-1/2-   则f(x)=x-1/2+(e^(-2x))/2
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