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设a+b>0a≠b,n∈N,n≥2,用数学归纳法证明(a+b/2)^n<(a^n+b^n)/2
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更新时间:2024-04-25 19:45:07
问题描述:

设a+b>0a≠b,n∈N,n≥2,用数学归纳法证明(a+b/2)^n<(a^n+b^n)/2

陆开上回答:
  ∵a+b>0a≠b   第一步,当n=1时,不等式显然成立.   第二步,假设n=k时,不等式成立.即有(a^k+b^k)/2>[(a+b/2)]^k   那么,两边同时乘以(a+b/2),可得   (a+b/2)(a^k+b^k)/2>([(a+b/2)]^(k+1)   左边=[a^(k+1)+ab^k+a^kb/2+b^(k+1)/2]/2   >[a^(k+1)+b^(k+1)]/2   即n=k+1时成立.   第三步,由一和二可知,n=1时成立,则n=2时成立,则n=3时成立……类推,对任意n不等式都成立
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