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【9年级下学期“实际问题与二次函数”如图,点E、F、G、H分别位于边长为2CM的正方形ABCD的四条边上,且四边形EFGH也是正方形.问:当点E位于何处时,正方形EFGH的面积S(CM平方)最小?最小面积是多】
1人问答
更新时间:2024-03-29 22:38:46
问题描述:

9年级下学期“实际问题与二次函数”

如图,点E、F、G、H分别位于边长为2CM的正方形ABCD的四条边上,且四边形EFGH也是正方形.问:当点E位于何处时,正方形EFGH的面积S(CM平方)最小?最小面积是多少CM平方?请吧过程写出来,)小女子不甚感激

梁平凡回答:
  (假设E在AD边上,F在AB边上,其余类推)   第一步:证明三角形AFE、BFG、CGH、DHE彼此全等.   证明:因为EFGH为正方形,故EF=FG=GH=HE;   角AEF与角DEH互余,角AEF又与角AFE互余,因此角AFE=角DEH;   在三角形AFE和三角形DEH中,   EF=HE;   角AFE=角DEH;   角A=角D=90度;   所以三角形AFE和三角形DEH全等.   同理三角形AFE、BFG、CGH、DHE彼此全等.   第二步:设EA长度为x(厘米),则FB=EA=x;   AF=AB-FB=2-x;   由勾股定理,   EF^2=AE^2+AF^2=x^2+(2-x)^2=2x^2-4x+4;.(1)   注意EF^2就是正方形EFGH的面积S.   (1)式首项系数大于0,   则取最小值时必然在x=-b/2a=-(-4)/2*2=1处.   由此E位于AB中点时,正方形EFGH的面积S(CM平方)最小,以x=1带入   (1)式,得到最小面积是2*1^2-4*1+4=2(CM平方)   证毕.
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