如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点P为DD1的中点．（1）求证：直线BD1∥平面PAC；（2）求证：平面PAC⊥平面BDD1；（3）求证：直线PB1⊥平面PAC．
1人问答
更新时间:2024-04-17 05:11:30
问题描述：
如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点P为DD1的中点．
（1）求证：直线BD1∥平面PAC；
（2）求证：平面PAC⊥平面BDD1；
（3）求证：直线PB1⊥平面PAC．
都思丹回答：
（1）设AC和BD交于点O，连PO，
由P，O分别是DD1，BD的中点，故PO∥BD1，
所以直线BD1∥平面PAC．
（2）长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，
底面ABCD是正方形，则AC⊥BD
又DD1⊥面ABCD，则DD1⊥AC，
所以AC⊥面BDD1，则平面PAC⊥平面BDD1
（3）PC2=2，PB12=3，B1C2=5，所以△PB1C是直角三角形．PB1⊥PC，
同理PB1⊥PA，所以直线PB1⊥平面PAC．（12分）
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