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【平面上有N个点,且任意三点不共线,求证:存在三点以其中一点为顶点,过另两点的小于派/N的角.】
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更新时间:2024-03-28 22:17:38
问题描述:

平面上有N个点,且任意三点不共线,求证:存在三点以其中一点为顶点,过另两点的小于派/N的角.

林东回答:
  证明:此题分两种情况   (1)先证特殊情况:当N个点构成一个凸N边形时,N边形内角和为(N-2)*派,所以,至少有一内角小于等于{(N-2)*派}/N,任一顶点与其不相邻的N-3个点相连可形成N-3条对角线,将此角分为N-2份,所以,必存在其中一角小于等于{(N-2)*派}/(N*(N-3)),又(N-2)/(N-3)小于1.显然,放缩得{(N-2)*派}/(N*(N-3))小于派/N,得证.   (2)再证一般情况:由凸包理论得,N点必可形成一个M个元素的凸包,同上可证明.
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