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四棱锥P-ABCD是矩形,PD垂直平面ABCD,若PB=2,PB与平面PCD和平面ABD分别成45°和30°求PB与CD所成角的大小
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更新时间:2024-04-26 06:19:25
问题描述:

四棱锥P-ABCD是矩形,PD垂直平面ABCD,若PB=2,PB与平面PCD和平面ABD分别成45°和30°

求PB与CD所成角的大小

崔洪瑜回答:
  连结BD   因为PD⊥平面ABCD,所以:∠PBD就是直线PB与平面ABCD所成角   即有:∠PBD=30°   且可知:PD⊥BC   又BC⊥CD,那么:BC⊥平面PCD   所以PB在平面PCD上的射影为PC   那么∠BPC就是PB与平面PCD所成角,即有:∠BPC=45°   由于AB//CD,所以∠PBA就是PB与CD所成角   在Rt△PBD中,PB=2,∠PBD=30°,易得:PD=1,BD=√3   在Rt△PBC中,∠BPC=45°,易得:PC=BC=√2   所以在Rt△PCD中,由勾股定理得:CD=√(PC²-PD²)=1   那么:AB=CD=1   因为PD⊥AB,AB⊥AD,所以:AB⊥平面PAD   那么:AB⊥PA   所以在Rt△PAB中,cos∠PBA=AB/PB=1/2   易解得:∠PBA=60°   即PB与CD所成角的大小为60°.
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