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如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别与BC,AC交于点D,E,过点D作DF⊥AC,垂足为F.(1)求证:DF为⊙O的切线;(2)若AE=42,∠CDF=22.5°,求阴影部分的面积.
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更新时间:2024-04-19 18:32:40
问题描述:

如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别与BC,AC交于点D,E,过点D作DF⊥AC,垂足为F.

(1)求证:DF为⊙O的切线;

(2)若AE=4

2,∠CDF=22.5°,求阴影部分的面积.

程学云回答:
  (1)证明:连接AD,OD.   ∵AB是直径,   ∴∠ADB=90°,   ∴AD⊥BC,   ∵AB=AC,   ∴D是BC的中点,   ∵O是AB的中点,   ∴OD∥AC,   ∴∠ODF+∠DFA=180°,   ∵DF⊥AC,   ∴∠DFA=90°.   ∴∠ODF=90°.   ∴OD⊥DF   ∴DF是⊙O的切线;   (2)连接OE,   ∵∠ADB=∠ADC=90°,∠DFC=∠DFA=90°,   ∴∠DAC=∠CDF=22.5°,   ∵AB=AC,D是BC中点,   ∴∠BAC=2∠DAC=2×22.5°=45°,   ∵OA=OE,   ∴∠OEA=∠BAC=45°.   ∴∠AOE=90°,   ∵AE=42
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