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已知a,b,c是△ABC的三边长,求证方程a²x²-(a²+b²-c²)x+b²=0没有实数根
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更新时间:2024-03-29 17:54:02
问题描述:

已知a,b,c是△ABC的三边长,求证方程a²x²-(a²+b²-c²)x+b²=0没有实数根

吕志香回答:
  Δ=[-(a²+b²-c²)]²-4×a²×b²   =[-(a²+b²-c²)]²-(2ab)²   ∵[-(a²+b²-c²)]²=[a²+b²-c²]²(不管内部正负,结果都是正数)   =[(a+b)²-c²-2ab]²-(2ab)²   平方差公式得   Δ=[(a+b)²-c²][(c²-a+b)²-4ab]   =[(a+b)²-c²][(a-b)²-c²]   ∵a<b+c(三边关系)   移向得a-b<c   ∴[(a-b)²-c²]<0   ∵[(a+b)²-c²]>0(三边关系得a+b>c)   ∴[(a+b)²-c²][(a-b)²-c²]的解为负数   所以   Δ=[-(a²+b²-c²)]²-4×a²×b²<0   ∴没有实数根
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