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【过抛物线y^2=4x的焦点F作弦AB,若|AF|=2|BF|,则弦AB所在的直线方程】
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更新时间:2024-04-16 19:04:56
问题描述:

过抛物线y^2=4x的焦点F作弦AB,若|AF|=2|BF|,则弦AB所在的直线方程

郝国华回答:
  设弦AB所在的直线方程为:x=my+1,于是有:y^2-4my-4=0   设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m.(1)y1y2=-4.(2)   又|AF|=2|BF|   由抛物线定义知|AF|=x1+1,|BF|=x2+1   所以:x1+1=2(x2+1)   ∵x1=my1+1,x2=my2+1   ∴my1+2=2(my2+2).(3)   联立(1)(3),得:   y1=(8m²+2)/3m,y2=(4m²-2)/3m   将上式代入(2)式,得:   (8m²+2)(4m²-2)/9m²=-4   令m²=t,则有:(4t+1)(2t-1)=-9t   即:8t²+7t-1=0   t=1/8,t=-1(舍去)   所以m²=1/8,m=±√2/4   于是有:x=±√2/4y+1   所以弦AB所在的直线方程为:y=±2√2(x-1)
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