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如图,在直三棱柱ABC-A′B′C′中,AA′=AB=BC=1,∠ABC=90°.棱A′C′上有两个动点E,F,且EF=a(a为常数).(Ⅰ)在平面ABC内确定一条直线,使该直线与直线CE垂直;(Ⅱ)判断三棱锥B-CEF的
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更新时间:2024-04-20 19:35:57
问题描述:

如图,在直三棱柱ABC-A′B′C′中,AA′=AB=BC=1,∠ABC=90°.棱A′C′上有两个动点E,F,且EF=a (a为常数).

(Ⅰ)在平面ABC内确定一条直线,使该直线与直线CE垂直;

(Ⅱ)判断三棱锥B-CEF的体积是否为定值.若是定值,求出这个三棱锥的体积;若不是定值,说明理由.

童锟回答:
  (Ⅰ)取AC中点D,连接BD.   ∵AB=BC,∴△ABC为等腰三角形,D为底边AC中点,∴BD⊥AC.   ∵ABC-A′B′C′是直三棱柱,∴AA′⊥平面ABC,   ∵BD⊂平面ABC,∴BD⊥AA′.   又AA′∩AC=A,∴直线BD⊥平面ACC′A′.   ∵CE⊂平面ACC′A′,∴BD⊥CE   ∴直线BD即为所求.------(5分)   (Ⅱ)∵ABC-A′B′C′是直三棱柱,   ∴CC′⊥平面A′B′C′,   ∵EF⊂平面A′B′C′,∴CC′⊥EF   ∴△CEF的边EF上的高为线段CC′,   由已知条件得CC′=AA′=1,且EF=a(常数),   故△CEF的面积S=12
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