当a>0时,x在[0,+∞)上,g(x)≤h(x)不能直接得出。由于a>0时,h(x)和g(x)在x∈[0,+∞)上时为增函数,所以需要比较h(x)和g(x)之间斜率的大小关系,才能判断h(x)和g(x)的大小关系。
根据你的做法,令g(x)=e^x-1,h(x)=ax^2+x,g‘(x)=e^x,h’(x)=2ax+1,g‘‘(x)=e^x,h’’(x)=2a
由于g(0)=h(0)=0,g‘(0)=h’(0)=1,g‘‘(0)=1,h’’(0)=2a;
1.当a<0时,h’‘(x)<0,h'(x)为减函数,所以在x∈[0,+∞)上,g’(x)≥h'(x)(只有在x=0时它们的值相等),通过观察函数,可知,h(x)的值是先增大后减小,由于h(x)在增大时,其斜率均小于g(x)的斜率,说明h(x)增大的幅度没有g(x)快,从而可以说明h(x)的值均小于g(x)。
2.当a≥0时,在x∈[0,+∞)上,g‘‘(x)>0,h’’(x)>0,且g‘(x)>0,h’(x)>0,说明g(x),h(x)均为增函数,且g‘(x),h’(x)也为增函数。由于g(0)=h(0)=0,要使g(x)>h(x),必须使g‘(x)>h’(x),进而要使g‘‘(x)≥h’’(x),即e^x≥2a,由于e^x在x∈[0,+∞)上的最小值为1,所以2a≤1,所以0≤a≤1/2
综上可知a≤1/2