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【已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的离心率e=根号5,过双曲线上一点M做两条直线MA,MB分别交双曲线于点A,B.且直线MA,MB的斜率分别为k1,k2,若直线AB过原点O,则k1*k2的值为?】
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更新时间:2024-04-26 02:06:54
问题描述:

已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的离心率e=根号5,过双曲线上一点M做两条直线MA,MB分别交双曲线于点A,B.

且直线MA,MB的斜率分别为k1,k2,若直线AB过原点O,则k1*k2的值为?

唐晓君回答:
  设M(x0,y0)A(x1,y1)B(x2,y2)   因为双曲线关于原点对称,直线AB过原点O,   所以x1=-x2y1=-y2   即B(-x1,-y1)   k1=(y0-y1)/(x0-x1)   k2=(y0+y1)/(x0+x1)   k1*k2=(y0^2-y1^2)/(x0^2-x1^2)   A,M都在双曲线上,则   y0^2=b^2(x0^2/a^2-1)y1^2=b^2(x1^2/a^2-1)   所以y0^2-y1^2=b^2(x0^2-x1^2)/a^2   k1*k2=b^2/a^2   因为e=c/a=根号5   所以c=根号5*ac^2=5a^2   b^2=c^2-a^2=4a^2   所以   k1*k2=b^2/a^2=4
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