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十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的一个有趣的关系式,被称为欧拉公式.请你观察下列几种简单多面体模型,解答下列问题:(1)
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更新时间:2024-03-29 06:42:24
问题描述:

十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的一个有趣的关系式,被称为欧拉公式.请你观察下列几种简单多面体模型,解答下列问题:

(1)根据上面多面体模型,完成表格中的空格:

多面体 顶点数(V) 面数(F) 棱数(E)
 四面体 4 4 
 长方体 8 6 12
 正八面体  8 12
 正十二面体 20 12 30
你发现顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式是______.

(2)一个多面体的面数比顶点数大8,且有30条棱,则这个多面体的面数是______.

(3)某个玻璃鉓品的外形是简单多面体,它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成,且有24个顶点,每个顶点处都有3条棱,设该多面体外表三角形的个数为x个,八边形的个数为y个,求x+y的值.

杜向阳回答:
  (1)四面体的棱数为6;正八面体的顶点数为6;关系式为:V+F-E=2;多面体 顶点数(V) 面数(F) 棱数(E) 四面体 4 46 长方体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 20 12 30(2)由题意得:F-8+F-30=2,解得F=20;   (3)∵有24个顶点,每个顶点处都有3条棱,两点确定一条直线;   ∴共有24×3÷2=36条棱,   那么24+F-36=2,解得F=14,   ∴x+y=14.
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