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设函数y=f(x)是严格单调的三阶可导函数,而且f'(x)≠0,求(f^-1)^(3)(y)(即f(x)的反函数的三阶导数).好像是数学分析第一册习题四的最后一题.只有答案((f^-1)^(3)(y)={-f'''(x)/[f'(x)]^4}+{3(f''(x))^2/[f'(x)]
1人问答
更新时间:2024-03-29 23:19:49
问题描述:

设函数y=f(x)是严格单调的三阶可导函数,而且f'(x)≠0,求(f^-1)^(3)(y)(即f(x)的反函数的三阶导数).

好像是数学分析第一册习题四的最后一题.只有答案((f^-1)^(3)(y)={-f'''(x)/[f'(x)]^4}+{3(f''(x))^2/[f'(x)]^5}),

刘芳付回答:
  首先:(f^-1)^(1)(y)=1/f'(这没问题吧,约定f=f(x))   得: (f^-1)^(2)(y)=d((f^-1)^(1)(y))/dy   =d((f^-1)^(1)(y))/dx*1/f'   =1/f'*d(1/f')/dx   =1/f'*(-f''/(f')^2)   =-f''/(f')^3;   得: (f^-1)^(3)(y)=d((f^-1)^(2)(y))/dy   =d((f^-1)^(2)(y))/dx*1/f'   =1/f'*d(-f''/(f')^3)dx   ={-f'''(x)/[f'(x)]^4}+{3(f''(x))^2/[f'(x)]^5}
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