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正态分布的期望和方差怎么求
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更新时间:2024-03-29 04:30:35
问题描述:

正态分布的期望和方差怎么求

姜建芳回答:
  不用二重积分的,可以有简单的办法的.   设正态分布概率密度函数是f(x)=[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]   其实就是均值是u,方差是t^2,百度不太好打公式,你将就看一下.   于是:   ∫e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=(√2π)t.(*)   积分区域是从负无穷到正无穷,下面出现的积分也都是这个区域,所以略去不写了.   (1)求均值   对(*)式两边对u求导:   ∫{e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*[2(u-x)/2(t^2)]dx=0   约去常数,再两边同乘以1/(√2π)t得:   ∫[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*(u-x)dx=0   把(u-x)拆开,再移项:   ∫x*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=u*∫[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx   也就是   ∫x*f(x)dx=u*1=u   这样就正好凑出了均值的定义式,证明了均值就是u.   (2)方差   过程和求均值是差不多的,我就稍微略写一点了.   对(*)式两边对t求导:   ∫[(x-u)^2/t^3]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=√2π   移项:   ∫[(x-u)^2]*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=t^2   也就是   ∫(x-u)^2*f(x)dx=t^2   正好凑出了方差的定义式,从而结论得证.
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