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(数学)已知a,b,c为实数,函数y1=ax^2+bx+c,y2=ax+b(a>0),当-1≤x≤1时有-1≤y1≤1已知a,b,c为实数,函数y1=ax^2+bx+c,y2=ax+b(a>0),当-1≤x≤1时有-1≤y1≤1,y2有最大值2,试求由抛物线y1与直线y2所围成的封闭图形
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更新时间:2024-04-26 01:19:04
问题描述:

(数学)已知a,b,c为实数,函数y1=ax^2+bx+c,y2=ax+b(a>0),当-1≤x≤1时有-1≤y1≤1

已知a,b,c为实数,函数y1=ax^2+bx+c,y2=ax+b(a>0),当-1≤x≤1时有-1≤y1≤1,y2有最大值2,试求由抛物线y1与直线y2所围成的封闭图形及其内部所有格点(纵横坐标均为整数的点)顺次连接所得图形的面积.

蔡苏回答:
  由a>0知,y2随x增大而增大.   ∴a+b=2.   当x=0、1时,-1≤c≤1,-1≤a+b+c≤1,   故-1≤c=(a+b+c)-2≤1-2=-1,   ∴c=-1.   ∴x=0时,y1=-1是函数y1在x∈[-1,1]上的最小值.   故x=0是函数y1的对称轴,   即-b/2a=0,b=0,a=2.   即y1=2x^2-1,y2=2x.   联立得两者交点坐标为   A((1-√3)/2,1-√3)、B((1+√3)/2,1+√3).   由于(1-√3)/2≤x≤(1+√3)/2的整数解为x=0,1.   ∴对应的格点有   O(0,0)、M(0,-1)、N(1,1)、P(1,2)四个点.   ∴四边形OMNP恰好是一个平行四边形,   其面积为:S=1×1=1.
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