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如图,平面PAC⊥平面ABC,AC⊥BC,△PAC为等边三角形,PE∥BC,过BC作平面交AP、AE分别于点M、N.(1)求证:MN∥PE;(2)设ANAP=λ,求λ的值,使得平面ABC与平面MNC所成的锐二面角的大小为45°
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更新时间:2024-03-28 20:41:44
问题描述:

如图,平面PAC⊥平面ABC,AC⊥BC,△PAC为等边三角形,PE∥BC,过BC作平面交AP、AE分别于点M、N.

(1)求证:MN∥PE;

(2)设ANAP=λ,求λ 的值,使得平面ABC与平面MNC所成的锐二面角的大小为45°.

孙越泓回答:
  几何法:   (Ⅰ) 证明:因为PE∥CB,所以BC∥平面APE …(3分)   又依题意平面ABC交平面APE于MN,   故MN∥BC,   所以MN∥PE.…(6分)   (Ⅱ)由(Ⅰ)知MN∥BC,故C、B、M、N共面,   平面ABC与平面MNC所成的锐二面角即N-CB-A.   因为平面PAC⊥平面ABC,   平面PAC∩平面ABC=AC,且CB⊥AC,   所以CB⊥平面PAC.故CB⊥CN,   故∠NCA为二面角N-CB-A的平面角…(10分)   所以∠NCA=45°.   在△NCA中运用正弦定理得ANAC=sin45°sin75°=226+24=3−1
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