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SAT2数学题,有关复数1.Ifi(复数里的那个i)isarootofx^4+2x^3-3x^2+2x-4=0,theproductoftherealrootsisA.-4B.-2C.0D.2E.42.Thenatureoftherootsoftheequation3x^4+4x^3+x-1=0isA.3positiverealrootsand1negativerealroot
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更新时间:2024-04-20 07:29:14
问题描述:

SAT2数学题,有关复数

1.Ifi(复数里的那个i)isarootofx^4+2x^3-3x^2+2x-4=0,theproductoftherealrootsis

A.-4B.-2C.0D.2E.4

2.Thenatureoftherootsoftheequation3x^4+4x^3+x-1=0is

A.3positiverealrootsand1negativerealroot

B.3negativerealrootsand1positiverealroot

C.1negativerealrootand3complexroots

D.1positiverealroot,1negativerealroot,and2complexroots

E.2positiverealroots,1negativerealroot,and1complexroot

李淑清回答:
  1.选A.   由韦达定理,方程的4个根之积为x1x2x3x4=-4.又因为实系数方程的复根一定成对出现,因此如果i是方程的一个根,-i也一定是方程的一个根.不妨设x1=i,x2=-i,这样x1x2=1,从而x3x4=-4,即方程的两个实根之积为-4.   注:严格来讲,应该验证方程确实有两个实根.若记函数   f(x)=x^4+2x^3-3x^2+2x-4,则f(0)=-40,从而在区间(0,2)内必有一个零点,因此方程的另一个零点也一定是实数,从而方程的两个实根之积为-4.但在本题中,既然题目已经说道有两个实根,那就不必再验证了.   2.选D.   同样利用实系数方程的复根一定成对出现,选项C和E一定不正确.现在仍记   f(x)=3x^4+4x^3+x-1,那么f(x)的导数f'(x)=12x^3+12x^2+1.由观察可知,方程f'(0)=0有且只有一个实零点(直观上可以这样看:当x取向负无穷时,f'(x)小于0,而f'(0)=1>0,这说明f'(x)一定有零点;另一方面,容易看出x>-1时一定有f'(x)>0,所以存在负无穷到-1之间的某个点x0使得f'(x0)=0.但是当x为负时,三次项x^3的增长速度比二次项快,所以f'(x)=0只能达到一次).不妨设该零点为x0,f'(x0)=0,那么x0,f(x)单调递增.这样,由函数的这种单调性质可知,f(x)在实轴上至多只能有两个零点.注意到x00,f(0)
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