1 　　F(X)=(3X-2)/(2X-1) 　　F(1-X)=[3(1-X)-2]/[2(1-X)-1]=[1-3X]/[1-2X]=(3X-1)/(2X-1) 　　F(X)+F(1-X)=(3X-2)/(2X-1)+(3X-1)/(2X-1)=[(3X-2)+(3X-1)]/(2X-1)=3(2X-1)/(2X-1)=3 　　F(1/2009)+F(2008/2009)=3 　　F(2/2009)+F(2007/2009)=3 　　. 　　F(2008/2008)+F(1/2009)=3,将这2008个式子相加得： 　　2S=3*2008==>S=3012, 　　即原式=3012 　　2. 　　A(n+1)=(3An-2)/(2An-1),两边各减去1得： 　　A(n+1)-1=[(3An-2)/(2An-1)]-1=(An-1)/(2An-1),左右两边取倒数得： 　　1/[A(n+1)-1]=(2An-1)/(An-1)=[(2An-2)+1]/(An-1)=[2(An-1)+1]/(An-1)=2+1/[An-1] 　　令bn=1/[An-1],则b(n+1)=1/[A(n+1)-1],上式为： 　　b(n+1)-bn=2 　　所以数列{bn}是以b1=1/[A1-1]=1/[2-1]=1,为首项,d=2为公差的等差数列； 　　bn=2n-1 　　即：1/[An-1]=2n-1, 　　An-1=1/(2n-1) 　　An=1/(2n-1)+1=2n/(2n-1) 　　(3)A1A2A3...An>√(2n+1) 　　1º、当n=1时,左=A1=2, 　　右边=√3,结论成立! 　　2º、假设n=k(k≥2)时结论成立,即： 　　A1A2A3...Ak>√(2k+1)两边同时乘以A(K+1)得： 　　A1A2A3...AkA(k+1)>√(2k+1)·(2k+2)/(2k+1)=(2k+2)/√(2k+1)分子分母同时乘以√(2k+3)得： 　　A1A2A3...AkA(k+1)>(2k+2)√(2k+3)/√(2k+1)√(2k+3)=√(2k+3)·[(2k+2)/√(2k+1)(2k+3)] 　　=√(2k+3)·[√(2k+2)²/√(2k+1)(2k+3)] 　　=√(2k+3)·[√(4k²+8k+4)/√(4k²+8k+3)>√(2k+3)=√[2(k+1)+1] 　　即n=k+1时结论也成立,由数学归纳法原理,对一切的自然数n结论都成立!