【（2014•淄博二模）某市为控制大气PM2.5的浓度，环境部门规定：该市每年的大气主要污染物排放总量不能超过55万吨，否则将采取紧急限排措施．已知该市2013年的大气主要污染物排放总量为4】
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更新时间:2024-04-19 16:41:33
问题描述：
（2014•淄博二模）某市为控制大气PM2.5的浓度，环境部门规定：该市每年的大气主要污染物排放总量不能超过55万吨，否则将采取紧急限排措施．已知该市2013年的大气主要污染物排放总量为40万吨，通过技术改造和倡导绿色低碳生活等措施，此后每年的原大气主要污染物排放量比上一年的排放总量减少10%．同时，因经济发展和人口增加等因素，每年又新增加大气主要污染物排放量胁（m＞0）万吨．
（Ⅰ）从2014年起，该市每年大气主要污染物排放总量（万吨）依次构成数列{an}，求相邻两年主要污染物排放总量的关系式；
（Ⅱ）证明：数列{an-10m}是等比数列；
（Ⅲ）若该市始终不需要采取紧急限排措施，求m的取值范围．
陈楸回答：
（Ⅰ）由已知，a1=40×0.9+m，an+1=0.9an+m（n≥1）
（Ⅱ）证明：∵an+1=0.9an+m（n≥1）
∴an+1-10m=0.9（an-10m），
∴数列{an-10m}是以36-9m为首项，0.9为公比的等比数列；
（Ⅲ）由（Ⅱ）得an-10m=（36-9m）•0.9n-1，
∴an=（36-9m）•0.9n-1+10m．
由已知有∀n∈N*，an≤55
（1）当36-9m=0即m=4时，显然满足题意；
（2）当36-9m＞0，即m＜4时，
由指数函数的性质可得：（36-9m）×0.90+10m≤55，解得m≤19，综合得m＜4；
（3）当36-9m＜0即m＞4时，
由指数函数的性质可得：10m≤55，解得m≤5.5，综合得4＜m≤5.5．
综上可得所求范围是m∈（0，5.5]．
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