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【已知各项正数的等比数列{an}满足a7=a6+2a5,若存在两项am,an,使得√(am*an)=4a1,则1/m+4/n的最小值?xiangxi】
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更新时间:2024-03-29 23:09:40
问题描述:

已知各项正数的等比数列{an}满足a7=a6+2a5,若存在两项am,an,使得√(am*an)=4a1,则1/m+4/n的最小值?

xiangxi

安变南回答:
  ∵{an)等比数列,设公比为q   a7=a6+2a5   ∴a1q^6=a1q^5+2a1q^4   ∴q^2=q+2   ∴q^2-q-2=0   ∴q=2或q=-1   ∵an>0   ∴q=2   √(am*an)=4a1   am*an=16a1²   a1²[q^(m-1)*q^(n-1)]²=16a1²   ∴[2^(m+n-2)]²=16   ∴m+n-2=2   ∴m+n=4==>(m/4+n/4)=1   ∴1/m+4/n   =(1/m+4/n)(m/4+n/4)   =1/4+1+m/n+n/(4m)   ≥5/4+2√(1/4)=9/4   (均值定理当m/n=n/(4m)是取等号)   ∴1/m+4/n的最小值为9/4
侯淑贞回答:
  a1[q²^(m-1)*q^(n-1)]²中的[q²^(m-1)*q^(n-1)]²不应有平方啊
安变南回答:
  a1²[q^(m-1)*q^(n-1)]=16a1²∴[2^(m+n-2)]=16∴m+n-2=4∴m+n=6==>(m/6+n/6)=1∴1/m+4/n=(1/m+4/n)(m/6+n/6)=1/6+2/3+2m/(3n)+n/(6m)≥5/6+2√(1/9)=3/2(均值定理当2m/(3n)=n/(6m)是取等号)∴1/m+4/n的最小值为3/2
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