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三角函数的关系
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更新时间:2024-03-29 08:16:31
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三角函数的关系

刘涛回答:
  同角三角函数的基本关系   倒数关系:tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1商的关系:sinα/cosα=tanα=secα/cscαcosα/sinα=cotα=cscα/secα平方关系:sin^2(α)+cos^2(α)=11+tan^2(α)=sec^2(α)1+cot^2(α)=csc^2(α)   平常针对不同条件的常用的两个公式   sin²α+cos²α=1tanα*cotα=1   一个特殊公式   (sina+sinθ)*(sina+sinθ)=sin(a+θ)*sin(a-θ)证明:(sina+sinθ)*(sina+sinθ)=2sin[(θ+a)/2]cos[(a-θ)/2]*2cos[(θ+a)/2]sin[(a-θ)/2]=sin(a+θ)*sin(a-θ)   锐角三角函数公式   正弦:sinα=∠α的对边/∠α的斜边余弦:cosα=∠α的邻边/∠α的斜边正切:tanα=∠α的对边/∠α的邻边余切:cotα=∠α的邻边/∠α的对边   二倍角公式   正弦sin2A=2sinA·cosA余弦1.Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)=2Cos^2(a)-1=1-2Sin^2(a)2.Cos2a=1-2Sin^2(a)3.Cos2a=2Cos^2(a)-1正切tan2A=(2tanA)/(1-tan^2(A))   三倍角公式   sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)tan3a=tana·tan(π/3+a)·tan(π/3-a)三倍角公式推导sin(3a)=sin(a+2a)=sin2acosa+cos2asina=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina=3sina-4sin^3acos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos²a-1)cosa-2(1-cos^a)cosa=4cos^3a-3cosasin3a=3sina-4sin^3a=4sina(3/4-sin²a)=4sina[(√3/2)²-sin²a]=4sina(sin²60°-sin²a)=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)cos3a=4cos^3a-3cosa=4cosa(cos²a-3/4)=4cosa[cos²a-(√3/2)^2]=4cosa(cos²a-cos²30°)=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)上述两式相比可得tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)   n倍角公式   sin(na)=Rsinasin(a+π/n)……sin(a+(n-1)π/n).其中R=2^(n-1)证明:当sin(na)=0时,sina=sin(π/n)或=sin(2π/n)或=sin(3π/n)或=……或=sin【(n-1)π/n】这说明sin(na)=0与{sina-sin(π/n)}*{sina-sin(2π/n)}*{sina-sin(3π/n)}*……*{sina-sin【(n-1)π/n】=0是同解方程.所以sin(na)与{sina-sin(π/n)}*{sina-sin(2π/n)}*{sina-sin(3π/n)}*……*{sina-sin【(n-1)π/n】成正比.而(sina+sinθ)*(sina+sinθ)=sin(a+θ)*sin(a-θ),所以{sina-sin(π/n)}*{sina-sin(2π/n)}*{sina-sin(3π/n)}*……*{sina-sin【(n-1π/n】与sinasin(a+π/n)……sin(a+(n-1)π/n)成正比(系数与n有关,但与a无关,记为Rn).然后考虑sin(2na)的系数为R2n=R2*(Rn)^2=Rn*(R2)^n.易证R2=2,所以Rn=2^(n-1)   半角公式   tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))   和差化积   sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]   sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)   两角和公式   cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβsin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ   积化和差   sinαsinβ=[cos(α-β)-cos(α+β)]/2cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2   双曲函数   sinh(a)=[e^a-e^(-a)]/2cosh(a)=[e^a+e^(-a)]/2tanh(a)=sinh(a)/cosh(a)公式一:设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:sin(2kπ+α)=sinαcos(2kπ+α)=c
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