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实数XY满足1≤X^2+Y^2≤4.求X^2+2XY—Y^2的取值范围
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更新时间:2024-04-19 12:15:37
问题描述:

实数XY满足1≤X^2+Y^2≤4.求X^2+2XY—Y^2的取值范围

卢会国回答:
  进行坐标变换,x=rcosθ,y=rsinθ   ∵1≤x²+y²≤4   ∴1≤(rcosθ)²+(rsinθ)²≤4   ∴1≤r²≤4   ∴1≤r≤2,θ∈[0,2π)   ∴x²+2xy-y²   =(rcosθ)²+2r²cosθsinθ-(rsinθ)²   =r²cos²θ-r²sin²θ+2r²cosθsinθ   =r²cos2θ+r²sin2θ   =√2r²sin(2θ+π/4)   ∵1≤r≤2,θ∈[0,2π)   ∴x²+2xy-y²的取值范围是[-4√2,4√2]
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