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【设a,n为正整数,且a整除2n的平方,试说明n的平方+a不是平方数快那,好的加分】
3人问答
更新时间:2024-03-28 22:21:10
问题描述:

设a,n为正整数,且a整除2n的平方,试说明n的平方+a不是平方数

快那,好的加分

陈营端回答:
  a|2n^2   如果n^2+a=b^2.一式   则 2b^2=2n^2+2a   所以a|2b^2   如果a是奇数,则a|n^2,a|b^2   如果a是偶数,则a/2|n^2,a/2|b^2   总有数c|n^2c|b^2a=c或者2c   设c=x^2*yy不含平方因子   则设 y|(n/x)^2=y^2*N^2y|(b/x)^2=y^2*B^2 此时,n=xyN,b=xyB.   代入一式:   则B^2y=N^2y+1或者N^2y+2   1=y(B^2-N^2)-----显然无解   或者   2=y(B^2-N^2)-----显然无解   所以.不可能是完全平方数   证毕.
黄璜回答:
  老师,还能不能用其他方法解?如果令n^2+a=m^2,则.....会吗,好像有代换的..偶们老师说的啦...再问一下,“不是平方数”是什么概念,是负数吗?
陈营端回答:
  1491625...........n^2就是平方数,其它不是平方数。你设的m^2就表示平方数。y不存在平方数因子:即y的算术表达式中每个素因子p的指数是1,如y=3*7*37;否则如3^3*7*37则有9作为y的平方因子。简单一点,按你所设n^2+a=m^2:a|2n^2a|2m^2, 设a=2^r*x^2*y,r=0或者1, y不存在平方数因子。则x^2|n^2x^2|m^2所以xy|mxy|n,设m=xyM,n=xyN代入:m^2-n^2=ay(N^2-M^2)= 2^r =1或者2y(N-M)(N+M) =1或者2----------显然无解
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