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已知一扇形的中心角是α,所在圆的半径是R若扇形的周长是一定值C(C>0),当α为多少弧度时,该扇形有最大面积
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更新时间:2024-04-23 17:32:17
问题描述:

已知一扇形的中心角是α,所在圆的半径是R若扇形的周长是一定值C(C>0),当α为多少弧度时,该扇形有最大面积

刘通平回答:
  (以下用A代表α)   答案是:C=l+2R   =|A|R+2R   R=C/(A+2)   S=1/2×A×[C/(A+2)]²   =C²/2×A×1/﹙A²+4A+4﹚≤C²/16   当且仅当A=4/A,即A=2(A=-2舍去﹚时,扇形面积有最大值   C²/2×A×1/﹙A²+4A+4﹚   =C^2*A/2(A^2+4A+4)   所以只需证A/2(A^2+4A+4)=2根号(A*4/A)=2*2=4,等号成立时A=4/A,A=2   2(A+4/A+4)>=2*(4+4)=16   1/2(A+4/A+4)
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