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已知函数f(x)=sin(2x+π/6)+sin(2x—π/6)—cos2x+a(a为实数,属于R)(1)求最小正周期(2)求函数单调增区间(3)若x属于【0,pai/2】时,F(x)的最小值是-2,求a
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更新时间:2024-03-29 16:34:21
问题描述:

已知函数f(x)=sin(2x+π/6)+sin(2x—π/6)—cos2x+a(a为实数,属于R)

(1)求最小正周期

(2)求函数单调增区间

(3)若x属于【0,pai/2】时,F(x)的最小值是-2,求a

林波回答:
  第一个问题:   f(x)=sin2xcos(π/6)+cos2xsin(π/6)+sin2xcos(π/6)-cos2xsin(π/6)-cos2x+a   =2sin2xcos(π/6)-cos2x+a=2[sin2xcos(π/6)-cos2xsin(π/6)]+a   =2sin(2x-π/6)+a.   ∴函数f(x)的最小正周期为2π/2=π.   第二个问题:   ∵f(x)=2sin(2x-π/6)+a.∴当2kπ-π/2≦2π-π/6≦2kπ+π/2时,f(x)单调递增.   由2kπ-π/2≦2x-π/6≦2kπ+π/2,得:2kπ-3π/6+π/6≦2x≦2kπ+3π/6+π/6,   ∴2kπ-2π/6≦2x≦2kπ+4π/6,∴kπ-π/6≦x≦kπ+π/3.   即函数f(x)的单调增区间是[kπ-π/6,kπ+π/3],其中k为整数.   第三个问题:   ∵0≦x≦π/2,∴0≦2x≦π,∴-π/6≦2x-π/6≦π-π/6,   ∴f(x)的最小值为2sin(-π/6)+a=-1+a=-2,∴a=-1.
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