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【有这样一个数学猜想有一个矩形,在其平面内的任意一点向任意方向发出一条射线,碰到边就按反射原理反射,一直无限进行下去,这条射线会不会经过原出发点,甚至方向也和起始角度一样如果】
1人问答
更新时间:2024-04-24 11:42:14
问题描述:

有这样一个数学猜想

有一个矩形,在其平面内的任意一点向任意方向发出一条射线,碰到边就按反射原理反射,一直无限进行下去,这条射线会不会经过原出发点,甚至方向也和起始角度一样

如果可以,那么在任意平面图形(包括曲边图形或直边曲边都有的图形)内是不是也一样可以,甚至拓展到三维空间也适用呢?

葛昕回答:
  首先,对于矩形是成立的.   证明:将该粒子的出发点作为原点,过原点且平行于矩形的长的直线为x轴,过原点且平行于矩形的宽的直线作为y轴,再将粒子的速度沿两条坐标轴正交分解.依题意,粒子发生弹性碰撞,所以粒子在两坐标轴上投影的速率不变(x轴上的速度与宽垂直,y轴上的速度与长垂直),即粒子在两坐标轴上的运动是周期运动,即使两周期不同,当时间为两个周期的公倍数时粒子回到原点.又因为粒子速率不变,所以运动方向不变(运动方向不变不一定在周期的最小公倍数时取得,但一定会在某些公倍数上取得).   第二,对于任意三维空间则不一定成立.   证明:如上建立坐标系,由于粒子在三个坐标轴上的速度可能会变(不一定垂直),由上述推理可知这种情况不一定成立.
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