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【一个证明题a1,a2,a3,an是一组n维向量,怎么证明:它们线性无关的充分必要条件是任意n维向量都能由它们线性表示】
1人问答
更新时间:2024-03-29 19:58:04
问题描述:

一个证明题

a1,a2,a3,an是一组n维向量,怎么证明:它们线性无关的充分必要条件是任意n维向量都能由它们线性表示

崔岩回答:
  证明:必要性   对任意一个n维向量x,a1,a2,a3,...,an,x线性相关(个数大于维数)   因为a1,a2,a3,...,an线性无关   所以x可由a1,a2,a3,...,an线性表示.   充分性:由已知,n维基本向量组ε1,ε2,...,εn可由a1,a2,a3,...,an线性表示   而由于a1,a2,a3,...,an可由ε1,ε2,...,εn线性表示   故两个向量组等价,故有相同的秩   即有r(a1,a2,a3,...,an)=r(ε1,ε2,...,εn)=n   所以a1,a2,a3,...,an线性无关.
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