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【初三数学正方形ABCD中,AB=1.点P是射线DA上的一动点,DE⊥CP,垂足为E,EF⊥BE与射线DC交于点F.(1)若点P在边DA上(与点D,点A不重合)求证△DEF∽△CEB设AP=XDP=Y求Y与X的函数关系式,并写出函数定义域(2)当】
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更新时间:2024-04-23 14:12:12
问题描述:

初三数学

正方形ABCD中,AB=1.点P是射线DA上的一动点,DE⊥CP,垂足为E,EF⊥BE与射线DC交于点F.

(1)若点P在边DA上(与点D,点A不重合)

求证△DEF∽△CEB

设AP=XDP=Y求Y与X的函数关系式,并写出函数定义域

(2)当S△BEC=4S△EFC求AP的长

陈孝栋回答:
  (1)①   ∵∠DEC=∠FEB=90°   ∴∠DEF=∠BEC(同角的余角相等)   ∵∠EDF+∠DCP=90°∠BCE+∠DCP=90°   ∴∠EDF=∠BCE   ∴△DEF∽△CEB   ②∵在Rt△PDC中,DE⊥CP   ∴∠CDP=∠CED=90°   ∴△DEC∽△PDC   ∴DE/EC=PD/DC   ∵△DEF∽△CEB   ∴DE/EC=DF/BC又因BC=DC   ∴PD/DC=DF/DC   ∴PD=DF   ∵AP=x,DF=y   ∴PD=1-x   ∴y=1-x(0<x<1)   (2)∵△DEF∽△CEB   ∴S△DEF/S△CEB=DF^2/CB^2.(1)   ∵S△DEF/S△CEF=DF/CF.(2)   ∴用(1)/(2)式   得S△CEF/S△CEB=DF•CF/CB2   又∵S△BEC=4S△EFC,   ∴S△CEF/S△CEB=DF•CF/^CB2=1/4   当P点在边DA上时   有(1-x)•x/1=1/4,解得x=1/2   即:AP=1/2   当P点在边DA的延长线上时,   (1+x)•x/1=1/4,解得x=(√2-1)/2   即:AP=(√2-1)/2
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