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高中数学:求使根号x+根号y小于等于a根号(x+y)恒成立的a的最小值?一定要有过程哦~~
3人问答
更新时间:2024-04-24 20:15:48
问题描述:

高中数学:求使根号x+根号y小于等于a根号(x+y)恒成立的a的最小值?

一定要有过程哦~~

陈鸿昶回答:
  √x+√y≤a√(x+y)显然a>0,所以平方得x+y+2√(x*y)≤a^2*(x+y),合并同类项得(a^2-1)*(x+y)≥2√(x*y),接下来就是基本不等式,因为原题要恒成立,又x+y≥2√(x*y),(x,y都是正实数),所以只需(a^2-1)*(x+y)≥x+y,即a^2-1≥1,得到a最小为√2
刘中华回答:
  √2。原式化为a≥(√x+√y)/√(x+y),a^2≥(x+y+2√xy)/(x+y),由于(x+y+2√xy)/(x+y)≤1+2√xy/(x+y)≤1+1=2;所以a^2≥2;即a≥√2。
陆煜明回答:
  显然不等式两边都大于0平方后:   x+y+2√xy≤a^2(x+y)   整理下:(a^2-2)(x+y)+x+y-2√x≥0   (a^2-2)(x+y)+(√x-√y)^2≥0   若恒成立,显然需要满足(a^2-2)(x+y)≥0   即a^2-2≥0   所以a≥根号2
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