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α,β,γ,θ∈(0,π/2),且α+β+γ+θ=π,求y=sinαsinβsinγsinθ最大值已知θ∈(0,π),求证sinθ+1/2sin2θ+1/3sin3θ=0
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更新时间:2024-04-25 18:30:10
问题描述:

α,β,γ,θ∈(0,π/2),且α+β+γ+θ=π,求y=sinαsinβsinγsinθ最大值

已知θ∈(0,π),求证sinθ+1/2sin2θ+1/3sin3θ=0

龚倩回答:
  因为α,β,γ,θ∈(0,π/2),所以   sinα>0,sinβ>0,sinγ>0,sinθ>0,   由基本不等式,可知:   (sinαsinβsinγsinθ)^(1/4)0,   又sin3θ=sin(θ+2θ)=sinθcos2θ+cosθsin2θ=sinθ[1-2(sinθ)^2]+2sinθ(cosθ)^2   =sinθ[3-4(sinθ)^2],   所以sinθ+1/2sin2θ+1/3sin3θ=sinθ+sinθcosθ+1/3sinθ[3-4(sinθ)^2]   =sinθ[1+cosθ+1-4/3(sinθ)^2]=1/3sinθ[2+3cosθ+4(cosθ)^2]   =1/3sinθ[(2cosθ+3/4)^2+23/16]>0.
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